Eine Zahl heißt dann rational, wenn man sie als Verhältnis zweier benennbarer ganzer Zahlen ausdrücken kann, also Zahlen, die zu dem Zählen benutzt werden können. So genannte rationale Zahlen umfassen somit die ganzen Zahlen und gewöhnliche Brüche. Diese werden dann unterschieden in

• (1.) Brüche, die sich auf ganze Zahlen zurückführen lassen,

• (2.) Brüche, die einen endlichen Dezimalbruch bilden,

• (3.) Brüche, die einen unendlichen Dezimalbruch bilden, bei dem sich eine oder mehrere Ziffern endlos periodisch wiederholen.

Hinweis: nicht endliche, nicht periodische Dezimalbrüche sind nicht-rational.

Jede rationale Zahl lässt sich in dem Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. In dem Gegensatz dazu haben irrationale Zahlen (wie √2, √3, π oder manche Grenzwerte) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge.

Die Menge aller rationalen Zahlen bildet einen Körper, der mit Q (stark betont dargestellt) genannt wird. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert.

siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist

In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen in dem Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind immer periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt.

Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man häufig in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.

5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5.

Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B.

3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116,

die alten Ägypter kannten ca. solche Summen und haben mit diesen gerechnet.

Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn

(1/5)² + (24/35)² = (5/7)².

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:

(a, b) + (c, d) = (a·d+b·c, b·d)

(a, b) · (c, d) = (a·c, b·d)

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation ~ auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein:

(a, b) ~ (c, d) exakt dann wenn, a·d = b·c.

Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper Q, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Man kann zeigen, dass Q der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen N enthält. Q ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen Z.

Rationale Zahlen liegen "dicht" auf der Zahlengerade, das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt immer eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

c := (a+b)/2

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen "gleichmächtig" zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen N und Q, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt. Siehe dazu auch: Cantor-Diagonalisierung

• Zahlenbereiche
• Ganze Zahlen
• Reelle Zahlen
• Komplexe Zahlen
• Ordinalzahlen
• Zahlensystem

• http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm Â»Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst genau Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch)